¿Qué son los fractales?

Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas costeras no son círculos y la corteza no es suave, ni los rayos viajan en línea recta.

- Benoit Mandelbrot

(1924-2010)

Mandelbrot Set

La semana pasada falleció Benoît B. Mandelbrot, un curioso matemático franco-estadounidense (nacido en Polonia).
Este particular matemático fue el padre de los fractales, o más correctamente de la geometría fractal.
Cuando todos consideraban imposible estudiar formas tan complejas como las de las montañas o las nubes, Mandelbrot se atrevió y creó una herramienta matemática para ello.

El término fractal fue acuñado por el propio Mandelbrot y proviene del latín fractus que significa fracturado o roto.

¿Qué es un fractal?

Flowing blobs fractal

Según la Wiki:

Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.

Otra definición de fractal sería:

Un fractal es un forma geométrica que permanece incambiada cualquiera sea el aumento con el que se la observe. Esta propiedad recibe el nombre de «autosemejanza»

Todo muy lindo, pero veamos un ejemplo con el típico copo de nieve de Koch.

En este caso, partimos con una recta y aplicamos reiteradamente el mismo procedimiento (iteración): se toma la recta, se borra el tercio medio y se lo substituye por dos rectas a 60º (lo que formaría un triángulo equilátero con el tercio borrado). Luego de algunas iteraciones obtenemos la curva de Koch:

Curva de Koch fractal

En esta animación podemos ver cómo se forma la curva de Koch a través de varias iteraciones:

Curva de Koch - Fractal animado

Curva de Koch - Fractal animado

Acá podemos ver una animación de una curva de Koch si le hacemos zoom progresivamente:

Curva de Koch - Zoom animación

Curva de Koch - Zoom animación

Y si unimos 3 curvas de Koch, obtenemos el copo de nieve de Koch:

Copo de nieve de Koch - Animación

Copo de nieve de Koch - Animación

Los fractales poséen las siguientes características:

• Son demasiado irregulares para ser descritos en términos geométricos tradicionales.
• Poséen detalle a cualquier escala de observación.
• Son autosimilares (exacta, aproximada o estadística).
• Sus dimensiones de Hausdorff-Besicovitch son estrictamente mayores que sus dimensiones topológicas. (no pregunten… o al menos pregúntenle a un matemático!)
• Se definen mediante un simple algoritmo recursivo.

Todo muy lindo hasta acá, pero… y esto con qué se come?

Los fractales no son sólo meras abstracciones matemáticas (o como dirían en un bar amigo “pajas mentales”) sino que se pueden encontrar patrones fractales en la naturaleza: nubes, montañas, las líneas costeras, las ramificaciones bronquiales, el sistema circulatorio y hasta las variaciones en la frecuencia cardíaca siguen patrones fractales. En un próximo post voy a mostrar imágenes fractales en la naturaleza.

Fractal

Volviendo un poco al Dr. Mandelbrot, una vez se preguntó algo tan simple como cuánto medía la línea costera de Gran Bretaña. Se sorprendió al ver que la respuesta dependía del nivel de detalle considerado, o dicho de otra manera, de cuán cerca se miraba. En un mapa, la línea puede parecer suave, pero a medida que nos acercamos, veremos más y más detalles que hacen que la costa resulte más larga. Cuantos más detalles veamos, más larga será la costa.

Mandelbrot llegó a la conclusión:

La longitud de la línea costera es, en un sentido, infinita

Obviamente la conclusión de Mandelbrot se aplica al terreno teórico, ya que en la realidad, la naturaleza le pone límites a la infinita complejidad de los fractales teóricos.